갤럭시 넥서스 반납

갤럭시 넥서스는 안타깝게도 기기불량으로 반납하고야 말았습니다. 아직도 옛날 포스트에 댓글이 많이 달리길래... 2주만에 반납했구요. 증상은 첨에는 전화에서 목소리 발신? (수신인지 발신인지 기억이 안나네요)만 안되는 증상 발생. 통화중에 갑자기 그럽니다. 그래서 걍 factory image로 밀었더니 배터리 센서 이상... 회복안되더군요. 80%미만은 계속 81%로 표시하다가 죽어버립니다. 한번 그러고 나니 안드로이드 기기 자체가 신뢰가 안가더군요. 소프트웨어도 그렇고 하드웨어도 요새는 한국회사게 대세인것 같은데 불량률이...쓰다가 불량나도 그렇고 말이죠.. 그런건 교체를 몇번해도 안낫고 그러면 더 짜증나고... 그래서 요새는 아이폰 쓰고 있습니다. 아이패드를 쓰다보니...
안드로이드가 아무리 버터프로젝트를 해도 움직이는거보면 역시 iOS랑 짜임새가 다르더군요. 그렇다고 이제와서 다시 짤수도 없고 다른 OS를 만들수도 없으니... 젤 깔끔한 iOS가 젤 나은것 같습니다. 물론 Windows Phone이 좀 깔끔하게 되면 엄청난 경쟁력을 가질수도...
아, 제가 깔끔하다는 기준은 Sync 시스템입니다. UI도 깔끔해야되고, Sync하다가 날려먹지 않는 신뢰성과 version control은 필수고요. 여러 서비스의 계통이 간단해서 내가 원하는 서비스를 쓸때 한가지 옵션만이 존재하도록 하는겁니다. 사진공유서비스가 두개는 필요없잖아요. 근데 윈도는 기본사진뷰어도 두개고 (Live포함) SkyDrive 앨범..은 좋지만 온라인에서 바로 태그편집이 안되는게 가장큰 단점이네요. 무엇보다 '앨범'이 아니라 '폴더'라는 생각이 들게하는점이 좀 아쉬워요. 물론 파일이름 고칠수 있는건 좋지만.

現状を踏まえていく書き込み

自分は高校の時から寮に住んでいて、もう寮生活は8年になる。こちらでは寮といえば寄宿生のことで、自律性の寮はまず無い。高校と大学は寄宿制で、エリート学校だったから規制はあまり無かったものの、家で通うこととはだいぶ違う。そして、こちらでは1人部屋なんてまず無いから常に誰かと生活してきたこととなる。高校んときは4人、そのあとはずっと二人部屋だった。しかし、高校ではクラスで1日中ずっとくっついているけれど、大学からは部屋っていうのは睡眠をとるための空間に過ぎない。一緒の人とは知合いでもなければ、事情によってはころころ変わる存在でもあった。大学では研究室も無いから生活空間は寮を中心にしているわけだし、ルームメイトと仲良くなるきっかけもあれば必要性もあった。しかし、自分はその人と仲良くなれなかった。だから、相手がころころ変わるたびちょっと罪悪感もあった。見てはいけない場面を見られたこともあったし。定期学期で部屋が変わるということは学校政策か申し込んだ場合だけだから、ルームメイトが出ていくというのは卒業か友達と同じ部屋に移す場合だけだった。新入生だった一人は1年ぶりに辞退し学校を出て行ったりもしてた。ほかの学校に受験したということで、それ自体は何とも言えないが、最初のころちょっとトラブルがあったこともあって、しかも国内でこれ以上のランクの大学なんてあるのかなくらいのところだったので釈然としなかったところがある。本人も退寮の手続きもなく出ていったもので手こずったことがある。とにかく、二人部屋のルームメイトと仲良くなれない。しゃべらない。それこそ痼疾的な問題だった。だから、いっそう一人になりたいのかなと思っていた。趣味とかいろんなプライベートがないし、好きな時間に寝れないし、部屋とか好きに飾れないし。住居の欲求不満なのかと思っていた。人と一緒にいるのが面倒になっていた。

しかし、世の中は自分の思い通りには動いてくれない。大学になって、睡眠時間が自由になって、日本のおたく友達との交流が増えて、宿題も無いのに夜更かししたり睡眠時間がずれてしまうことが多くなっていく。そして、一度ずれたら戻すのはなかなか難しいものだ。昔は若いせいかそれでもなんとか容易くできたものの、日が経つに連れ、習慣は変えられにくいものなのだ。しかし、どれだけスケジュールが自由でも、社会生活をしている限り、生活リズムはある程度合わせなくてはならない。昼飯過ぎて起きるというのはもうなかなかやばい状況なのだ。どうして生活自体がずれてしまうのか。いくら早く起きようがそうでないようが。一番に思い出したのはやはり電子機器だった。最初は本の重さを減らすために購入したものだ。昔はいつも必要そうな本を全部持って歩いてたから、旅行の日にはトランクに本を入れていたものだ。当然すごい重い。タブレットを買ってから、本を持ち歩く必要もなくなったし、ノートも必要なくなった。最初はすっごい活用していたものだ。それから、どんどんパソコンの昨日が携帯タブレットへと移っていた。夜はいつも火を消した後もそれで遊んでいたから目も一段と悪くなる。統計によるとほとんどの人がそうだという。いろんな世界の不正義を見て怒ったり、対策を考えたり、雑な記事を読んだり、趣味のこと調べたり、そっちの趣味のことも調べたり・・・。人の人生って面白いなあって。

昔はどれだけ怠けても頑張ると思えばその時だけは頑張れたのに、今だけはそれもできない状態である。なんでだろう。昔みたいに人が怖いわけでもない。教授に怒られた時も淡々といられた。ではなんで家から一歩も出れないのだろうか。やはり教授が怖いのか？しかし、今は急ぐ時なのだ。休みに遊んだ分教授の点を取るべきだと、先輩は言った。何日か期間はあったのにもう1日しか残っていない。その間何もやっていない。それはなんでだろうと思った。そしてやっと「なにで」暇つぶしをしているかに気が付いた。俺は安住したいんだ。結局自分は人の話を聞いていた。悩みとか、幸せとか、悲しみとか、あきれるくらいのストーリも聞いて。喜怒哀楽しながら。それでもどこかではその人たちを羨ましがっているのだ。そんな気がした。これまで私は人と絆を結びたくなかった。いつも向こうから寄ってくるのを期待していた。高校生まではそれでも問題はない。とにかく一緒の空間に閉じ込められ、それも一緒の長年を生きてきたという同質感があるから。しかもこちらでは留年とか無いからなおさら。同じ学年で歳が違うというと想像できるのは法的な問題（知能の問題、移民とか）とか、相当な不良で退学になったことくらいだ。だから、大学からは孤立しやすいものだ。まぁむしろ同じ学問をやってる仲だし、当時の自分としてはむしろ同質感を得られたのかもしれない。しかし積極的になれない人はいつまでも恵まれたりはしないもの。しかし積極的に偽るとそれもまた大きな副作用をもたらす。だから性のまま生きることにしていた。

自信ってなんだろう。なんで俺は言い訳もろくにできないまま悔しがりながらも、また現状を維持しているのだろう。やはり隣に誰かいたほうが良かったかもしれない。いや、むしろ結果とか考えずに人にぶつかったほうが、何もしないより絆が生まれる。僕は今まで「人に見られるのは結果のみ」と考え人を恐れ、過ちをし、また誤解を生むという最悪のサイクルに陥っていた。そして、それはすべて「こだわり」から生まれたもの。ほかは知らなくても自分が望んだそれだけは絶対、というこだわりが、私の人生にはずっとしみついていた。そしてそれは学問を追及することに向いていると思っていた。しかし、今こそ結論付ける。世の中のすべてのこだわりは間違っていると。東洋ではなぜか職人気質をよく見せる教育をしてきた。そしてそれはもちろん産業社会において生産性を増加させる方向へ働く。しかし、ソサイアティーに入り、生産性を一番左右する人間関係において、どのようなこだわりも役には立たなかった。こだわりは硬直した動きしか生まない。むしろすべてを捨て、職に対するこだわりさえも捨てることで、重圧を乗り越え前に進めるのだ。

だから勇気を出し、好きで好きでたまらなくて、しかし好きになってはいけない人に、好き勝手にふるまってみる。すべての欲を捨て、軽い気持ちになれるようにする。何も考えずに行動しよう。

p.s. 言い訳って思ってる時点で自信ないかもねw本当に何もしてないってありえないし

How to put USIM into iPhone

As a first-time experienced user, do not try this alone without the instruction. iPhone 5 can be easily hurt.

Every Internet post suggested to push hard into the pinhole to open the SIM tray, but it is wrong. Also, some says about "downside" but I didn't understand it, until I saw a movie clip on YouTube.

To open the tray, put the pin in the hole, and tilt to frontside, to make the tip push the far side from you. Now you can see that the tray pops out. You don't have to push any hard.

4-D Clifford Algebra with (-1,1,1,1) signature

Weyl Basis: \[\gamma^0=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix};\; \gamma^i=\begin{bmatrix}0&\sigma^i\\\sigma^i&0\end{bmatrix}\]
Dirac Basis: \[\gamma^0=\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix};\; \gamma^i=\begin{bmatrix}0&\sigma^i\\\sigma^i&0\end{bmatrix}\]
Majorana Basis: \[\gamma^0=\begin{bmatrix}0&i\sigma^2\\i\sigma^2&0\end{bmatrix};\; \gamma^1=\begin{bmatrix}-\sigma^3&0\\0&-\sigma^3\end{bmatrix};\; \gamma^2=\begin{bmatrix}0&-i\sigma^2\\i\sigma^2&0\end{bmatrix};\; \gamma^3=\begin{bmatrix}\sigma^1&0\\0&\sigma^1\end{bmatrix};\;\]
\[\gamma^\mu_{\text{Dirac}}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\gamma^\mu_{\text{Weyl}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}^{-1}\]

영암 F1 일정

Circuit map: http://www.fia.com/public/f1-2012/documents/kor-f1-2012-circuit.pdf
스탠드 포함 맵: http://www.formula1.com/races/in_detail/korea_879/
상세 일정표: http://www.formula1.com/races/in_detail/korea_879/event_timetable.html
문화행사: http://www.koreangp.kr/html2012/adver/munhwa.jsp
목포<->영암 무료 셔틀 예상 시간 40분 (무조건 그 이상 걸림)
목포->용산 KTX 경기 종료후 탑승가능 열차: 516, 518, 520 (예약 첫날 매진, 자유석 및 대기 좌석으로 이용가능)

당일 일정:

갤럭시 넥서스 젤리빈 설치

나는 최근 갤럭시 넥서스를 샀다. 레퍼런스 폰이라는 점은 구글의 클라우드 서비스에 만족하고 있던 나에게 큰 장점으로 다가왔다. 또한, 보통 사람들이 최신 "기계"에 끌린다는 점을 생각해볼때, "내용물"이 가장 최신인 기계이다.

하지만, 국내 갤럭시 넥서스는 해외판과 완전히 같은 기계임에도 불구하고 여전히 OS 버전은 4.0.4에 머물러 있다. 현재 최신 버전은 4.1.1이다. 안드로이드 4.1 젤리빈은 버터 프로젝트로서 그동안 안드로이드의 고질적 문제였던 UI priority문제를 해결하여 드디어 iOS에 필적할 수 있을 만한 OS로 성장하는데에 필수적인 역할을 할 것이다. 국내에서는 삼성의 갤럭시 시리즈의 판매 실적을 위해서인지 항상 3~6개월 정도 업그레이드가 늦춰져 갤럭시S 시리즈와 비슷한 시기에 업그레이드 되어 왔다. 현재 4.0.4 버전은 2월 4일 빌드 버전이고, 젤리빈은 지금까지 행적으로 보아 갤럭시 S3 이후 10~12월에 올라갈 가능성이 크다. 즉, 굳이 레퍼런스 폰을 샀음에도 6개월마다 새로운 버전이 발표된다는 안드로이드 OS를 1년 가까이 지원받지 못하는 것과 같다.

물론, 이렇게 업데이트 간격이 벌어지는 이유는 마이너한 업데이트와 버그가 있는 업데이트를 OTA에서 제외하여 안정성을 유지하려는 목적도 있다. 하지만 새로운 메이저 버전 발표라는 빅 이벤트에서, 딱히 버그도 없고 국내버전으로 수정할 필요도 없는 OS를 굳이 배포하지 않는 이유는 삼성의 정책 때문이라고 밖에 볼 수 없을 것이다. 구글에서 발표한 국제 버전과 국내 버전의 차이는 "삼성 키보드" 정도이다. 그리고 구글에 있는 국제 버전을 국내 기기에 깔아도 잘 돌아간다.

다만, 시스템을 수정한다는것은 레퍼런스폰의 장점을 파괴하는 행위일수도 있다. 몇몇 사람은 시스템 수정이 용이하다는 점에서 레퍼런스폰을 구입할 수도 있지만, 거꾸로 국내 통신사의 손에 의해 강제로 설치되는 통신사 어플을 피해 순수한 상태의 스마트폰을 만끽하고자 하는 사람도 많다. 이런 사람들의 입장에서는 굳이 시스템을 수정하여 벽돌이 되거나 워런티가 없어지는 리스크를 지기에는 부담이 될 수 있다. 그래서 나도 국내 OTA를 기다리고 있었다.

그런데, 4.0.4 IMM76K.M420KRFE04에는 중대한 버그가 있다. 나는 구글에서 2-step verification 기능을 쓰고 있는데, 갤러리에서 Picasa 앨범 리스트를 받아오지 못하는 것이었다. 그래서 온라인에 있는 사진을 볼 수는 있어도 올릴 수는 없다. 그리고 sync에 문제가 있는 것이기 때문에 배터리도 많이 소비하게 된다. 또한, 소프트웨어 문제인지는 알 수 없었지만 통화시 송출신호가 중단되는 문제가 있었다. 이런 중대한 기능의 문제점이 나를 국내 순정판에 안주할 수 없게 하였다. 보통 버그는 제조사가 인지하면 수정하여 새로운 업데이트를 내놓아 수정하게 되는데, 업데이트가 중단된 국내 기기는 지원을 받을 길이 없다. 결국 내가 할 수 있는 일은 새로운 OS를 까는 일 뿐이었다. 보통 스마트폰의 문제는 컴퓨터처럼 OS를 Clean Install함으로서 해결할 수 있는 경우가 많다.

국내 레퍼런스폰에 공식 팩토리 이미지를 까는 경우는 "레퍼런스폰"이라는 점을 고려하면 제법 많을 것이라고 생각됨에도 불구하고 도움이 되는 자료는 많이 없었다. 또한, 안드로이드라는 운영체제 자체가 무쌍하게 발전하는 중이라 과거의 자료가 완벽히 현재에 적용되는 경우는 하나도 없었다. 내가 몇 시간동안 고생하면서 경험한 것을 바탕으로 갤럭시 넥서스에 젤리빈을 올리는 방법을 얘기해보고자 한다. 기준시간은 이 포스트가 작성된 시점을 참조하기 바란다. 내가 현재 사용 중인 컴퓨터 운영체제는 윈도7 x64이다. 또한 모든 소프트웨어와 출처는 링크로 하여 자료가 갱신됨에 따라 알 수 있도록 하였다. 참고한 사이트는 다음과 같다.
http://dry-kiss.blogspot.kr/2012/04/s-404.html
http://millky.com/#/home/byuri/10000735
http://cafe.naver.com/anycallusershow/1238388
http://saintpeng.tistory.com/11
http://thdev.net/170#.UEdsWI3ia3I

또한, 국내 버전으로 돌리고 싶으면 다음을 참고하기 바란다.
http://forum.xda-developers.com/showthread.php?t=1681950

이 방법은 공장 이미지를 덮어 씌우는 방법으로, 모든 데이터는 삭제된다.


우선 시작하기 전에 컴퓨터에 필요한 소프트웨어는 다음과 같다.

1. Android SDK: http://developer.android.com/sdk/index.html
2. Factory Image: https://developers.google.com/android/nexus/images

1번은 쉽게 받을 수 있을 것이다. 옛날에는 압축 파일로 되어 있었지만 지금은 설치 패키지로 되어 있어, 받고 나서 실행하면 쉽게 깔 수 있다. 설치 후에 시작->Android SDK Tools->SDK Manager를 실행한다.

열면 Tools>Android SDK Tools만 깔려있을 것이다. Tools>Android SDK Platform-tools와 Extras>Google USB Driver를 설치한다. Google USB Driver는 나중에 수동으로 설치해야 한다. Plugin&Play기능 때문에 지금은 (윈도에) 설치할 수 없으므로 여기서에만 설치해두고 다음으로 넘어가자.

젤리빈 설치를 위한 프로그램은 SDK의 adb와 fastboot이다. 이 프로그램들은 C:\Program Files (x86)\Android\android-sdk\platform-tools\ 안에 있다. 팩토리 이미지를 이 폴더 안에 복사하고 cmd를 실행하여 이 폴더 안에서 작업하거나, 명령어의 argument를 이미지가 있는 상대 경로로 지정하여 사용할 수 있다. 물론 cmd는 관리자 모드로 실행하여야 나중에 말썽이 없을 것이다.

그럼 팩토리 이미지를 받아보자. 직접 넥서스 기기에서 확인할 수 있겠지만 국내 기기는 3G 버전인 "maguro"이다. "toro"는 4G 버전으로 유럽 전용 버전이므로 받지 말자. 또한, "takju"는 "Google Wallet"만 추가로 들어간 버전으로, NFC를 이용한 전자지갑 기능을 가지고 있다. 하지만 이 기능은 미국에서만 사용 가능하고, 국내에서는 국제규격의 NFC를 지원하지 않으므로 아무런 소용이 없다. "yakju" 중에 필요한 버전을 받자. 우리는 젤리빈을 받고 싶으므로 4.1.1을 받자. 받아서 압축을 원하는 곳에 풀면 된다. 위 문단을 참조하자면 C:\Program Files (x86)\Android\android-sdk\platform-tools\ 에 풀면 될 것이다. 파일은 5개로

1. bootloader-maguro-primelc03.img
2. flash-all.sh
3. flash-base.sh
4. image-yakju-jro03c.zip
5. radio-maguro-i9250xxlf1.img

이다.

이제 기기를 컴퓨터에 연결해보자. 기기를 fastboot모드로 부팅해야 하는데, adb모드에서 하는 방법과 손으로 하는 방법이 있다. 우선 adb모드에서 진행하려면, 기기에서 setting 앱으로 들어가서 Developer options> USB Debugging을 체크하고 컴퓨터에 USB로 연결하면 된다. 그리고 cmd로 C:\Program Files (x86)\Android\android-sdk\platform-tools\에 들어가서 "adb reboot bootloader"를 실행하면 부트로더를 실행한다.

혹은 기기를 끄고, 기기에 있는 모든 버튼 (볼륨업, 볼륨 다운, 전원)을 길게 진동이 올때까지 누르면 부트로더가 뜬다. 다만, USB를 연결하고 실행할시, 기기가 꺼지고 나서 충전상태를 표시하는 화면이 뜰 때까지 입력을 받지 않는다. 또한, 만충전일 때는 충전 중 화면이 뜨고 충전 완료 화면이 뜰 때까지 입력을 받지 않는다. 이는 모든 안드로이드 기기에서 공통인 사항일 것이다.

이제 코드를 실행하면 된다. 그런데 부트로더 모드로 실행된 기기를 컴퓨터가 인식하지 못할 것이다. 반드시 수동으로 드라이버를 설정해야 한다. 기기를 컴퓨터에 연결한 후, 장치 관리자로 들어가면 "기타 장치"에 "Android 1.0"이라는 기기가 보일 것이다. "C:\Program Files (x86)\Android\android-sdk\extras\google\usb_driver\android_winusb.inf"에서 "Android ADB Interface"를 설치한다. 그러면 기기를 컴퓨터가 인식할 수 있게 된다.

설치 후 컴퓨터에서 "fastboot oem unlock"을 실행하면 기기 화면에 언락을 할 것인지 묻는 화면이 뜰것이다. 언락을 하자. 언락을 하면 워런티가 없어진다. 다만, 그 유명한 "삼성 서비스" 덕분에 관계없이 무상 수리를 받을 수 있을 것이다. 걱정이 되면 국내 롬으로 리플래시하자.

그리고 flash-all.sh을 실행하면 되는데, 이는 유닉스 계열 스크립트 파일이므로, 이 파일 안에 있는 내용을 직접 쳐줘야 할 것이다. 우선, 부트로더를 새 버전으로 설치한다. 

fastboot flash bootloader bootloader-maguro-primelc03.img

fastboot reboot-bootloader

그리고 부트로더가 다시 뜰 때까지 기다린다. 그 다음으로 "radio"를 설치한다. "radio"는 모바일 네트워크 관련 드라이버이다. 국내 통신사를 사용하므로, radio는 국내버전을 써야하지 않을까하고 생각할 수 있겠지만, 반드시 지금 받은 순정 radio를 사용해야 순정 팩토리 이미지를 정상적으로 사용할 수 있다. 또한, 로밍이 되는 것에서 알 수 있듯이 하나의 드라이버로 전세계에서 사용가능하다. 오히려 국내 버전보다 신호가 더 잘 잡히는듯하기도 하다.

fastboot flash radio radio-maguro-i9250xxlf1.img

fastboot reboot-bootloader

다시 기다린다. 마지막으로 드디어 이미지를 설치한다.

fastboot -w update image-yakju-jro03c.zip

여기서 "-w" 옵션은 기존의 사용자 정보를 지우지 않는다는 옵션이다. 지우지 않는다고 해도, 갤럭시 넥서스는 아이폰과 같이 데이터가 어플에 종속되어 있으므로, 새 이미지를 씌우면 어플과 함께 모든 데이터도 지워진다. "-w"가 하는 일은 "Settings>Security>Owner info"에 있는 정보를 백업/복원해주는 것 밖에 없다.

설치가 끝나면 자동으로 리부팅된다. 기기를 처음 샀을 때와 마찬가지로 구글 계정을 설정해준다. 다만 잊지 말아야 할것은 oem을 다시 lock하는 것이다. 그래야 보안 상 안전하고 순정과 같은 상태로 쓸 수 있다. 위와 같은 방법으로 부트로더로 부팅하여 

fastboot oem lock

을 해준후 재부팅하여 정상적으로 사용하면 된다.

결과는... 모든 버그가 해결되었다! 다만 속도는 국내판 순정과 크게 다르지 않고 오히려 더 느리다고 느켜지는 경우도 있다. 하지만 어플을 많이 깐 경우에는 단연 아이스크림보다는 젤리빈이 더 나을 것이다. 또한 Google Now는 iOS에서 보여준 일정이나 날씨가 notification에 표시되는 기능을 보여준다. 역 가까이 가면 교통정보를 보여주고, 날씨 정보도 필요할 때를 예측하여 그때만 보여준다. 

버터프로젝트도 있지만 전체적으로 봐서 젤리빈이 5.0이 아니라 4.1인것은 확실히 납득이 가다.

Dirac Fields (1)

Dirac Basis

The wave equation for integer spins are already known as Klein-Gordon equation: \[\partial^2\phi +m^2\phi = 0\]We may develop half-ranked field to be \[(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi = 0\tag{1}\]when \[(\partial^2 +m^2)\psi = -(i\gamma^\mu\partial_\mu+m)(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi\]To satisfy the last equation, the Clifford algebra condition must be satisfied.\[\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\]Also the Lagrangian which derives the Dirac equation \((1)\) can be written as \[\mathfrak{L} = \bar{\psi}(i\not{\partial}-m)\psi\]where \(\not{\partial}=\gamma^\mu \partial_\mu\). Then, we can see that the U(1) charge is \[\int \bar{\psi}\gamma^0\psi \,d^3x\]and usually we demand it to be \(\int \psi^\dagger\psi\, d^3x\) to guarantee finiteness so \[\bar{\psi} := \psi^\dagger\gamma^0\]

     Any basis of gamma matrices and their following theories are all equivalent, so first the Dirac basis is taken which is handy in nonrelativistic case.\[\gamma^0 = \begin{bmatrix}1&\\&-1\end{bmatrix};\quad\gamma^k = \begin{bmatrix}&\sigma^k\\-\sigma^k&\end{bmatrix} \]There is also Weyl basis which is written \[\gamma^0 = \begin{bmatrix}&1\\1&\end{bmatrix};\quad\gamma^k = \begin{bmatrix}&\sigma^k\\-\sigma^k&\end{bmatrix} \]

Eigenspinors

As gamma matrices are constants, the plane wave solution \(k_\mu = i\partial_\mu \Rightarrow \psi \sim e^{-i k_\mu x^\mu}\) can also be a solution for the Dirac equation. By applying the solution to the equation, the equation may transform into momentum space. Then, by producting \(\gamma^0\) to the whole equation,
\[k^0\psi =\gamma^0( \vec{\gamma}\cdot \vec{k} + m)\psi\]where \(k^\mu = (k^0,\vec{k})\). Here, the matrix on the right hand side is
\[\gamma^0( \vec{\gamma}\cdot \vec{k} + m) = \begin{bmatrix}m&\vec{\sigma}\cdot \vec{k}\\\vec{\sigma}\cdot\vec{k}&-m\end{bmatrix}\]The eigenvalue of \(k^0\) can be obtained as \(\pm\omega = \pm\sqrt{\vec{k}^2+m^2}\).

     For \(k^0=\omega\), \(\psi \sim \begin{bmatrix}m+\omega\\\vec{\sigma}\cdot\vec{k}\end{bmatrix}\). For \(k^0=-\omega\), \(\psi \sim \begin{bmatrix}-\vec{\sigma}\cdot\vec{k}\\m+\omega\end{bmatrix}\). Attached plane wave part, \[\begin{split}\psi &\sim \begin{bmatrix}m+\omega\\\vec{\sigma}\cdot\vec{k}\end{bmatrix}e^{-i\omega t + i \vec{k}\cdot\vec{x}} , \begin{bmatrix}-\vec{\sigma}\cdot\vec{k}\\m+\omega\end{bmatrix} e^{i\omega t + i\vec{k}\cdot\vec{x}}
\\&=\begin{bmatrix}m+\omega\\\vec{\sigma}\cdot\vec{k}\end{bmatrix}e^{-i\omega t + i \vec{k}\cdot\vec{x}}, \begin{bmatrix}\vec{\sigma}\cdot\vec{k}\\m+\omega\end{bmatrix} e^{i\omega t - i\vec{k}\cdot\vec{x}}
\\&=\begin{bmatrix}m+\omega\\\vec{\sigma}\cdot\vec{k}\end{bmatrix}e^{-ik_\mu x^\mu}, \begin{bmatrix}\vec{\sigma}\cdot\vec{k}\\m+\omega\end{bmatrix} e^{ik_\mu x^\mu}\end{split}\]These are the eigenfunction of the Dirac equation. As the first two and the second two have positive frequency and negative frequency respectively, the first eigenfunctions are usually interpreted as particle while the second are interpreted as antiparticle.

     Now, to normalise the functions in the same sense in the quantum mechanics, Noether charge may be normalised to 1. U(1) Noether charge of Dirac field is \[\int -\bar{\psi} i \gamma^0\delta\psi \,d^3x= \int \bar{\psi}\gamma^0\psi \,d^3x = \int \psi^\dagger \psi \,d^3x\]For both case, \[\psi^\dagger \psi = (m+\omega)^2 + (\vec{\sigma}\cdot\vec{k})^2 = m^2 + 2m\omega + \omega^2 + \vec{k}^2 = 2\omega(m+\omega)\]as \(m^2+\vec{k}^2 = \omega^2\).

     Finally, the Dirac eigenfunctions are \[\sqrt{\frac{m+\omega}{2\omega V}}\begin{bmatrix}\alpha_i\\\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{k}}{m+\omega}\alpha_i\end{bmatrix}e^{-ik_\mu x^\mu}, \sqrt{\frac{m+\omega}{2\omega V}}\begin{bmatrix}\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{k}}{m+\omega}\beta_j\\\beta_j\end{bmatrix} e^{ik_\mu x^\mu}\]where \(\alpha_i\)'s and \(\beta_j\)'s are the 2-component spinors for upper or lower space to handle \(2\times 2\) Pauli matrices and show the additional degrees of freedom which will correspond to classical spin.

     Or, the eigenspinors can be expressed with the scalar waves and spinors.\[u^{(i)}(\vec{k})\frac{e^{-ik_\mu x^\mu}}{\sqrt{2\omega V}}, v^{(j)}(\vec{k})\frac{e^{ik_\mu x^\mu}}{\sqrt{2\omega V}}\]so defined is\[u^{(i)}(\vec{k})=\sqrt{m+\omega}\begin{bmatrix}\alpha_i\\\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{k}}{m+\omega}\alpha_i\end{bmatrix};\quad v^{(j)} = \sqrt{m+\omega}\begin{bmatrix}\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{k}}{m+\omega}\beta_j\\\beta_j\end{bmatrix}\]and\[u^{(i+2)}(\vec{k})=v^{(i)}(-\vec{k});\quad v^{(j+2)}(\vec{k}) = u^{(j)}(-\vec{k})\]

Spin

Spinor indices come from space-time symmetry, so the space-time rotation may have corresponding transformation in spinor space. By considering the rotational transform \(x^\mu\rightarrow x^\mu+{\omega^\mu}_\nu x^\nu\) on the gamma matrices, which is a converter between spinor indices and space-time indices, we may find the spinor representation of rotation.

     First, we may consider general fields \(f(x^\mu)\), and then for the infinitesimal angle \(\omega\), the scalar field may transforms to \(f(x^\mu)\rightarrow f(x^\mu+{\omega^\mu}_\nu)\). Its generator may be \[L^{\mu\nu}=-i(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)\]so that \(f(x)\rightarrow e^{-\frac{i}{2}L^{\mu\nu}\omega_{\mu\nu}}f(x)\), and additional space-time indices may give other infinitesimal transforms.

     As the gamma matrices has 1 vector index and is (1,1)-rank tensor (linear operator) in spinor space, the matrices may transform, under rotation, \[\gamma^\mu \rightarrow U(\gamma^\mu+{\omega^\mu}_\nu\gamma^\nu) U^{-1} \]Be ware of that \(U\) is not guaranteed to be unitary. We may express with generators: \(U=e^{-\frac{i}{2}S^{\rho\sigma}\omega_{\rho\sigma}}\) (one half factor by analogy to \(L^{\mu\nu}\)). We expect that the gamma matrices is numeric tensor so invariant under such total transform. \[e^{-\frac{i}{2}S^{\rho\sigma}\omega_{\rho\sigma}}(\gamma^\mu+{\omega^\mu}_\nu\gamma^\nu)e^{\frac{i}{2}S^{\rho\sigma}\omega_{\rho\sigma}}=\gamma^\mu\]

     Applying Baker-Campbell formula \[e^X Y e^{-X}=Y +[X,Y]+O(X^2)\]gives the equation of commutators. \[\begin{split} &{\omega^\mu}_\nu\gamma^\nu-\left[\frac{i}{2} S^{\rho\sigma} \omega_{\rho\sigma}, \gamma^\mu+{\omega^\mu}_\nu\gamma^\nu \right] +O(\omega^2) \\&= {\omega^\mu}_\nu\gamma^\nu-\frac{i}{2} \left[S^{\rho\sigma}, \gamma^\mu \right]\omega_{\rho\sigma} +O(\omega^2) =0\end{split} \]As \(S^{\rho\sigma}\) has 2 space-time indices and has commutation relation with gamma matrices, the ansatz can be taken \(S^{\rho\sigma}=A \gamma^\rho \gamma^\sigma\). Then, as \[\left[\gamma^\rho\gamma^\sigma,\gamma^\mu\right]=\gamma^\rho\left\{\gamma^\sigma,\gamma^\mu\right\}-\left\{\gamma^\mu,\gamma^\rho\right\}\gamma^\sigma=2\eta^{\mu\sigma}\gamma^\rho-2\eta^{\mu\rho}\gamma^\sigma\]the equation becomes \[{\omega^\mu}_\nu\gamma^\nu-iA\left({\omega_\rho}^\mu\gamma^\rho-{\omega^\mu}_\sigma\gamma^\sigma\right) = {\omega^\mu}_\nu\gamma^\nu+2iA{\omega^\mu}_\sigma\gamma^\sigma=0\]As \(A=\frac{i}{2}\) satifies the equation, the solution may be \(S^{\rho\sigma}=\frac{i}{2}\gamma^\rho\gamma^\sigma\); however we demand the rotation generators to be antisymmetric generally, the solution may be antisymmetrised. \[S^{\rho\sigma}=\frac{i}{4}\left[\gamma^\rho,\gamma^\sigma\right]\]

     Therefore, Dirac fields transform by generator \(L+S\). Now we may see the eigenvalues of the total generator in the nonrelativistic limit to match the quantum mechanics. Before that, we may explicitly obtain the generator to calculate; here, in Dirac basis. \[\left[\gamma^i,\gamma^j\right]=-\left[\sigma^i,\sigma^j\right]=-2i\epsilon^{ijk}\sigma^k=-4i\epsilon^{ijk}S^{(Euclidean)}_k\]so\[S^{ij}=\epsilon^{ijk}S^{(Euclidean)}_k\]This is exactly the same with the familiar 3-d quantum mechanics. Thus, each upper and lower 2 component spinor in Dirac basis indicates the Pauli spinor for particle and antiparticle.

In Weyl basis, \[\left[\gamma^\mu,\gamma^\nu\right]=\begin{bmatrix}\sigma^{[\mu}\bar{\sigma}^{\nu]}&\\&\bar{\sigma}^{[\mu}\sigma^{\nu]}\end{bmatrix}\]
\[\left[\gamma^0,\gamma^i\right]=\begin{bmatrix}-2\sigma^i&\\&2\sigma^i\end{bmatrix}\]
\[ \left[\gamma^i,\gamma^j\right]=-\left[\sigma^i,\sigma^j \right]\]