On Construction of Energy-Momentum Tensors

We may think of continuum version of energy and momentum as we learned particle geodesic. We may define the flow of energy and momentum which is called energy-momentum tensor, and talks about its conservation. Also, just like defining the energy and momentum of electromagnetic field in classical electrodynamics, we may define the energy-momentum tensor of force fields, in way of conserving the whole energy-momentum tensor. Then, we may obtain the tensor for some specific cases: one particle, perfect fluid, spin-1 field, and thermodynamical gas of classical particles and photons; and confirm the consistency between statistical mechanics and relativistic fluid theory, and between gravitational theory and electromagnetic field theory.

Introduction

In classical mechanics, we found some conservative quantities which is called momentum. You may have defined the momentum with some conservative quantities by evolution of time in Newtonian mechanics, or you may have directly derived from the Lagrangian itself in canonical way.

     We will talk about the conservative quantities which corresponds to energy and momentum in continuum and its conservation law. Then, interaction may break the conservation and revise the conservation to the equation of motion. We may define the energy-momentum tensor of the interaction so that still the energy-momenum is conserved, as we defined Maxwell stress tensor in classical electrodynamics.

Conservative Quantities

You may understand well the conservative law of charged particles (fluid): $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v})=0.\end{array}$$ Here, we call $\int \rho d^{3}x$ the (conservative) charge and $\rho \overrightarrow{v}$ the current. Under the Lorentz boost, we can find that the density $\rho$ is not a proper scalar in the 4-D, but is magnified $\gamma =(1-\beta {)}^{-1/2}$ times by the length contraction. So, using the proper density ${\rho }_0=\rho /\gamma$, the density in the local frame of fluid, the equation $(1)$ may be expressed as $$\frac{\partial \gamma {\rho }_0}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\gamma {\rho }_0\overrightarrow{v})=0,$$ which also can be expressed with the 4-velocity $u^{\alpha }$  $$\begin{array}{}\text{(2)}& {\mathrm{\nabla }}_{\alpha }({\rho }_0{u}^{\alpha })=0.\end{array}$$Thus, we can understand that $j^{\alpha }={\rho }_0{u}^{\alpha }$ should be called the proper 4-current in the same manner above, and the conservative charge is $q=\int \rho d^{3}x=\int j^0{d}^{3}x$ for a flat time slice, in the special relativity. If we expand this naturally to the general relativity, the charge within an arbitrary time slice segment $R$ may be defined as ${\int }_R\rho (R)d^{3}x={\int }_R{j}^{\alpha }d{S}_{\alpha }$.

     This proposal works well for non-mass charges such as electric charge as above, but mass-related quantities defined using above make some catastrophe. Analogy to above, we might define mass current ${\rho }_0^{(\mathrm{mass})}{u}^{\alpha }$, but this quantity is not an actual physical quantity. In a physical frame, only energy and momentum is an observable. Thus, we may define a current of energy and momentum density, the zeroth component of which may be the density itself.

     First, the zeroth component, the energy current may be considered. Consequent discussion may progress in the flat spacetime. The energy conservation may be written as: $$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{\partial \rho }{\partial t}+{\partial }_k(\rho v^k)=0\end{array}$$where $\rho$ is the energy density. Distinctly from the electric example, the energy density may be transformed into ${\gamma }^2$ magnified, one $\gamma$ of which is from the length constraction and another one of which is from the 4-momentum transformation (mass increase), under the Lorentz transformation ($\rho ={\rho }_0{\gamma }^2$). Thus, using the rest mass density ${\rho }_0$, the equation may be expressed to $${\partial }_{\alpha }({\rho }_0\gamma u^{\alpha })=0.$$As $\gamma =u^0$ and generally the partial derivative is extended to the covariant derivative in the general relativity, the covariant form may be naturally $${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }({\rho }_0{u}^0{u}^{\alpha })=0.$$Then the zeroth component ${\rho }_0{u}^0{u}^0$ is the energy density as we proposed.

     Second, we may remind the Navier-Stokes equation to write the equation of momentum conservation i.e. equation of motion in fluid^[1,2]: $$\begin{array}{}\text{(4)}& \rho \frac{\partial v^k}{\partial t}+\rho v^j{\partial }_j{v}^k=f^k={\partial }_j{\sigma }^{jk}\end{array}$$where $\overrightarrow{f}$ is the force density and the density is expressed by stress tensor $\sigma$. The stress tensor expression can generally give non-isotropic pressure and sheer forces. The first term may be changed to$$\rho \frac{\partial v^k}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(\rho v^k)-v^k\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(\rho v^k)+v^k{\partial }_j(\rho v^j)$$using the equation $(3)$ above. Then the Navier-Stokes equation  $(4)$  may be$$f^k=\frac{\partial }{\partial t}(\rho v^k)+\rho v^j{\partial }_j{v}^k+v^k{\partial }_j(\rho v^j)=\frac{\partial }{\partial t}(\rho v^k)+{\partial }_j(\rho v^j{v}^k).$$Using $\rho ={\rho }_0(u^0{)}^2$,$$f^k=\frac{\partial }{\partial t}({\rho }_0{u}^0{u}^k)+{\partial }_j({\rho }_0{u}^j{u}^k)={\partial }_{\alpha }({\rho }_0{u}^{\alpha }{u}^k).$$

     Thus, if we write the energy and momentum equations in covariant form, with the natural extension of stress tensor into 4-D ${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{\sigma }^{\alpha \beta }=f^{\beta }$, $$\begin{array}{}\text{(5)}& {\mathrm{\nabla }}_{\alpha }({\rho }_0{u}^{\alpha }{u}^{\beta })=f^{\beta }=-{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{\sigma }^{\alpha \beta }.\end{array}$$The minus sign is come from $(+,-,-,-)$ sign of the metric in the space-time while we used $(+++)$ in the 3-D. In the classical limit, only the spatial ($3\times 3$) part of ${\sigma }^{\alpha \beta }$ may be the same to the classical stress tensor and the other components may be zero as the energy and momentum are conserved.

     Hence, the current of energy and momentum, called energy-momentum tensor, may be defined $$\begin{array}{}\text{(6)}& T^{\alpha \beta }={\rho }_0{u}^{\alpha }{u}^{\beta }\end{array}$$if there is no interaction i.e. $f^{\beta }=0$. The tensor may satisfy the conservation law ${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{T}^{\alpha \beta }=0$ as shown above.

     Using the obtained tensor above, we can re-confirm that the fluid follows the geodesic equation in covariant way.^[3] Written the conservation law explicitly, $$\begin{array}{}\text{(7)}& {\mathrm{\nabla }}_{\alpha }({\rho }_0{u}^{\alpha }{u}^{\beta })=u^{\beta }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }({\rho }_0{u}^{\alpha })+{\rho }_0{u}^{\alpha }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{u}^{\beta }=0.\end{array}$$Contracted with $u_{\beta }$, $${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }({\rho }_0{u}^{\alpha })+{\rho }_0{u}^{\alpha }{u}_{\beta }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{u}^{\beta }=0.$$The normalisation $u_{\beta }{u}^{\beta }=1$ gives $u_{\beta }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{u}^{\beta }=0$ so the equation is reduced to $${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }({\rho }_0{u}^{\alpha })=0$$Applying this result to the original equation $(7)$ again, we get $$\begin{array}{}\text{(8)}& {\rho }_0{u}^{\alpha }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{u}^{\beta }=0\end{array}$$which is the geodesic equation. In conclusion, we can show that the world lines of the free fluid follows the geodesic.

Single Particle

As an example, we may obtain the energy-momentum tensor of a particle to confirm the discrete-continuum correspondence; we will put the delta function to $\rho$ and confirm if $(0,\alpha )$-component corresponds to the momentum. In the local rest frame of a particle, the particle should be at rest, so the tensor may be $$T_{(\mathrm{rest})}^{\alpha \beta }=m{\delta }^3(\overrightarrow{x})u^{\alpha }{u}^{\beta }=m\delta (x)\delta (y)\delta (z)u^{\alpha }{u}^{\beta }$$where $u^{\alpha }={\delta }_0^{\alpha }$ here, of course. Then, we may apply Lorentz transformation to express moving particle. $$T^{\alpha \beta }=\delta (\gamma x-\gamma \beta t)\delta (y)\delta (z)u^{\alpha }{u}^{\beta }$$where $u^{\alpha }=(\gamma ,\gamma \beta ,0,0)$ here. Now, we will obtain the momentum by integrating the tensor by the local time slice.$$\begin{array}{rl}{p}^{\beta }& ={\int }_{t=0}{T}^{0\beta }dxdydz\\ & =\int m\delta (\gamma x)\delta (y)\delta (z)\gamma u^{\beta }dxdydz=m{u}^{\beta }\end{array}$$So, here we confirmed the correspondence.

Maxwell-Boltzmann Dust

If we integrate such single particles which follow the Maxwell-Boltzmann distribution, we may define the energy-momentum tensor of non-interacting particles which follow the Maxwell-Boltzmann distribution. Among the particles, we can make a pair of two comoving groups of particles the velocities of which are opposite each other. Let the velocity be $u^{\alpha }=(\gamma ,\gamma \beta ,0,0)$ without loss of generality. Then, the energy-momentum tensor may be $$\begin{array}{rl}{T}^{\alpha \beta }& =\frac{\rho }{2}\left[\begin{array}{cccc}1& \beta & & \\ \beta & {\beta }^2& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]+\frac{\rho }{2}\left[\begin{array}{cccc}1& -\beta & & \\ -\beta & {\beta }^2& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]\\ & =\rho \left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & {\beta }^2& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]\end{array}$$where $\rho ={\gamma }^2{\rho }_0$ is the total energy density of the two groups. Here, the trace of spatial part is $\rho {\beta }^2$. This will never be changed if the direction of the velocity changes.

     Also, we can find easily that the off-diagonal term will not survive; if you want to eliminate the $(i,j)$-th term, which is proportional to $v^i{v}^j$, you can always find the group reflected in $i$-direction from the original group to cancel the $(i,j)$-th term when the two are summed. Thus, if we sum them all in every direction equally, the energy-momentum tensor of an isotropic gas may be: $$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rl}{T}^{\alpha \beta }& =\left[\begin{array}{cccc}\rho & & & \\ & ⟨\rho v_x^2⟩& & \\ & & ⟨\rho v_y^2⟩& \\ & & & ⟨\rho v_z^2⟩\end{array}\right]\\ & \approx \rho \left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & ⟨v_x^2⟩& & \\ & & ⟨v_y^2⟩& \\ & & & ⟨v_z^2⟩\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$where $\rho$ is the total energy density of the whole group and, of course, $⟨v_x^2⟩=⟨v_y^2⟩=⟨v_z^2⟩=\frac{1}{3}⟨v^2⟩$.

     According to the Maxwell-Boltmann distribution, which is the random group by thermodynamics in classical limit, $⟨v^2⟩=\frac{3kT}{m}$ where $m$ is the mass of a particle.^[4] Applied this, $$\begin{array}{}\text{(10)}& T^{\alpha \beta }=\left[\begin{array}{cccc}\rho & & & \\ & nkT& & \\ & & nkT& \\ & & & nkT\end{array}\right]\end{array}$$where $n$ is the number density of the gas and $k$ is the Boltzmann constant,
as $\rho =mn+\mathrm{\Theta }(v^2)$. Then, actually the extra term may be on the spatial diagonal as $nkT+\mathrm{\Theta }(v^2)nkT$, but as $nkT$ is also in dimension of classical kinetic energy $\mathrm{\Theta }(v^4)$, the additional term may be $\mathrm{\Theta }(v^4)$ which is ignored in classical limit. (which is reason for the approximation in $(9)$)

     In addition, the $v^2$ term of $(0,0)$-th component cannot be ignored as we consider until $v^2$. As we know the kinetic energy density is $\frac{3}{2}nkT$, the total energy density may be $\rho =mn+\frac{3}{2}nkT$.

     We conclude that the dynamical equivalence makes an different result from the absolute rest case, and this random motion gives the diagonal terms which later corresponds to pressure; surprisingly, you may notice that the diagonal term $nkT$ is the pressure predicted by thermodynamics in ideal gas.

With Interaction

With interactions, we may define the energy-momentum tensor as $$\begin{array}{}\text{(11)}& T^{\alpha \beta }={\rho }_0{u}^{\alpha }{u}^{\beta }+{\sigma }^{\alpha \beta }\end{array}$$so still the conservation ${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{T}^{\alpha \beta }=0$ is still satisfied. We expanded the stress tensor to 4-D maintaining the 3-D part the same in the classical limit, but, Nevertheless, the other components, $(0,\alpha )$ and $(\alpha ,0)$ component, is not known.

     We will obtain the energy-momentum tensor of perfect fluid as an ideal example, where no sheer force can exist and only isotropic pressure exists. We know that in classical ${\mathbb{E}}^3$, the stress tensor is ${\sigma }^{\alpha \beta }=p{\delta }^{\alpha \beta }$ where $p$ is the pressure. Thus, if the fluid is nearly at rest, the energy-momentum tensor may be$$\begin{array}{}\text{(12)}& T^{\alpha \beta }=\left[\begin{array}{cccc}{\rho }_0& & & \\ & p& & \\ & & p& \\ & & & p\end{array}\right].\end{array}$$By definition of tensor, covariant expression of a tensor value of which in one frame is only given is unique. $$\begin{array}{}\text{(13)}& T^{\alpha \beta }=({\rho }_0+p)u^{\alpha }{u}^{\beta }-p{g}^{\alpha \beta }\end{array}$$where the metric is in $(+---)$ convention. You can easily confirm that this will give $(12)$ at rest: $u^{\alpha }=(1,0,0,0)$.

Electromagnetic Wave

In the classical electromagnetism, the energy density, the momentum density, and the Maxwell stress tensor of electromagnetic field is suggested.^[5] $$\begin{gathered} u=\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2) \\ \overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_0}(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}) \\ {T}_{ij}={ϵ}_0(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{E}^2{\delta }_{ij})+\frac{1}{{\mu }_0}(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{B}^2{\delta }_{ij}) \end{gathered}$$We know that the stress tensor is $(i,j)$-th component and the energy and momentum is $(0,\alpha ),(\alpha ,0)$-th component of the energy-momentum tensor, we can combine to make the energy-momentum tensor. Suggested below may give those if you apply each indices: $$\begin{array}{}\text{(14)}& T^{\mu \sigma }=-\frac{1}{{\mu }_0}(F^{\mu \nu }{F^{\sigma }}_{\nu }-\frac{1}{4}{F}^2{g}_{\mu \sigma })\end{array}$$where $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$ and $F^2=F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$.

     Furthermore, the trace of the energy-momentum tensor should be $$T=-\frac{1}{{\mu }_0}(F^2-F^2)=0$$for any field given. This result, in addition, may simplify the Einstein's equation of pure gravity-electromagnetism system: $$R_{\mu \nu }=T_{\mu \nu },$$ as the equation is alternatively expressed as $R_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }$.

Planck Gas

Electromagnetic wave also has no shear, so in the same sense in the Maxwell-Boltzmann section, only diagonal terms of the energy-momentum tensor may remain at the centre of mass frame if we sum up about the photon gas. Then, the $(0,0)$-th component may be the energy density and the others are pressure. Statistical mechanics says that the energy density is $\rho =\frac{{\pi }^2}{15}{T}^4$ and the pressure is $p=\frac{1}{3}\rho$ where $T$ is the temperature if we use the natural units: $c=\hslash =k=1$.^[6]

     The pressure also can be obtained by the relation $T=0$ if we know that the energy-momentum tensor only has diagonal terms; relativity and electromagnetism gives the same result with the statistical mechanics. $$\begin{array}{}\text{(15)}& T_{(\mathrm{rest})}^{\alpha \beta }=\frac{{\pi }^2}{15}{T}^4\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1/3& & \\ & & 1/3& \\ & & & 1/3\end{array}\right]\end{array}$$

Field Theory Side

The Noether theorem in field theory gives that if an action$$S(\varphi ;x^{\mu })=\int \mathfrak{L}{d}^{4}x$$has the translational symmetry, the canonical energy-momentum tensor: $$t_{\sigma }^{\mu }=\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial {\varphi }_{,\mu }}{\varphi }_{,\sigma }-\mathfrak{L}{\delta }_{\sigma }^{\mu }$$should satisfies the conservation ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{t}_{\sigma }^{\mu }=0$ when the action is extremised.^[7] It is natural to be called energy-momentum tensor, as $\mu$ is the index of conservative current, and $\sigma$ is the index of corresponding translational symmetry. Also, this canonical tensor may give the real energy-momentum tensor which meets in the classical limit if we symmetrise it with right choice of gauge. Let us give an example of electromagnetism.

     If we give the action of the electromagnetism which gives the Maxwell equations and which is invariant by coordinate transform and gauge transform: $$S(A_{\mu })=\int F^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }{d}^{4}x,$$the canonical energy-momentum tensor is$$t_{\sigma }^{\mu }=4F^{\mu \nu }{A}_{\nu ,\sigma }-F^2{\delta }_{\sigma }^{\mu }$$which satisfies the conservation law ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{t}_{\sigma }^{\mu }=0$.

     However, this tensor is not symmetric. If we expand out and carefully exchange terms with identities and symmetries which still satisfy the conservation law, we may get the symmetric energy-momentum tensor.$$T^{\sigma \mu }=4F^{\mu \nu }{F_{\nu }}^{\sigma }-F^2{g}^{\sigma \mu }$$Remind the energy-momentum tensor of electromagnetic field. This is the exactly same if you multiply some coefficient.

G-EM System

Now, consider the gravity. We know the Hilbert action $\int R \sqrt{-g}d^4x$. We will see if the same action above is given to the gravity theory:$$\int (R+\frac{4\pi G}{{\mu }_0}{F}^2)\sqrt{-g}{d}^{4}x.$$First, the Einstein-Hilbert action and its variation is well known, and you might know the details.$${\delta }_g\int R\sqrt{-g}{d}^{4}x=\int G_{\mu \nu }\sqrt{-g}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x$$Second, if we take the variation on the electromagnetic terms, surprisingly it may gives the energy-momentum tensor of the field (you might vary the coefficient).$$\begin{array}{rl}& {\delta }_g\int F^2\sqrt{-g}{d}^{4}x\\ & =\int (2F_{\mu \sigma }{F_{\nu }}^{\sigma }-\frac{1}{2}{F}^2{g}_{\mu \nu })\sqrt{-g}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x\end{array}$$Thus, in total, the equation of motion gives the energy-momentum tensor of the electromagnetic field as a source of the gravity; just right fit into the Einstein's gravitational theory.$$\begin{array}{rl}& {\delta }_g\int (R+\frac{4\pi G}{{\mu }_0}{F}^2)\sqrt{-g}{d}^{4}x\\ & =\int (G_{\mu \nu }-8\pi G{T}_{\mu \nu }^{(\mathrm{em})})\sqrt{-g}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x.\end{array}$$
     In conclusion, we might see that the electromagnetic action which gives the maxwell equations and right energy-momentum tensor also gives the gravitational equations with the same energy-momentum tensor as the source if the action is added to the gravitational theory. In other word, the total action gives the gravitational theory if it is variated by gravitational field while the same action gives electromagnetic theory when it is variated by electromagnetic potential.

Conclusion

We have defined energy-momentum tensor of non-interacting fluid and perfect fluid. Then, we could define the energy-momentum tensor of interaction itself, in way of conserving the total energy-momentum, as we defined stress tensor of electromagnetic field in classical electrodynamics. Then, surprisingly, regardless of its origin, the meaning of each component of the tensor corresponded to the meaning in the original non-interacting fluid case. We have confirmed that perfect fluid of random gas of classical particles and photons gives its pressure naturally into the energy-momentum tensor as statistical mechanics predicted.

     Furthermore, we have seen that the energy-momentum tensor can be derived canonically from the Lagrangian which is the same defined above for some field. In case of electromagnetism, we also have found that variated by metric the same action gives the Einstein's field equation i.e. the energy-momentum tensor. In conclusion, the G-EM system action may gives the equation of motion of G-EM and the conservative current from one action by varying the variation variables.

References

[1] Wikipedia: Navier-Stokes equations
[2] P. Tourrenc, Relativity and Gravitation (Cambridge Univ. Press, UK, 1997), pp. 72.
[3] ion.uwinnipeg.ca/~vincent/4500.6-001/Cosmology/EnergyMomentum\Tensors.htm
[4] Wikipedia: Maxwell-Boltzmann distribution
[5] D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice-Hall, NJ, 1999), pp. 347-352.
[6] Wikipedia: Photon gas
[7] L. Ryder, Quantum Field Theory (2nd ed., Cambridge Univ. Press, UK, 1996), pp. 83-90.

Appendix

During the presentation, there was an interesting question about the features of the (relativistically) exact Boltzmann gas so here the calculation goes below.

     First, we may define the partition function (considered only in momentum space as there is no interaction) as $$Z=\int d^{3}p{e}^{-\beta ϵ}=4\pi \int dp{p}^2{e}^{-\beta ϵ}$$for a single particle. As every function we consider depends on only the magnitude of the momentum, the angular part was integrated up. We know the relation between energy and momentum: $p^2+m^2={ϵ}^2$, so using it, the integrating variable can be changed. $$\frac{1}{4\pi }Z={\int }_m^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\beta ϵ}ϵ\sqrt{{ϵ}^2-m^2}dϵ=\frac{m^2}{\beta }{K}_2(\beta m)$$Then, other quantities we need are obtained as below: $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\frac{1}{4\pi }⟨ϵ⟩Z& ={\int }_m^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\beta ϵ}{ϵ}^2\sqrt{{ϵ}^2-m^2}dϵ\\ & =\frac{m^2}{{\beta }^2}(\beta m{K}_1(\beta m)+3K_2(\beta m))\end{array} \\ \frac{1}{4\pi }⟨{ϵ}^{-1}⟩Z={\int }_m^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\beta ϵ}\sqrt{{ϵ}^2-m^2}dϵ=\frac{m}{\beta }{K}_1(\beta m) \end{gathered}$$Divided by the partition function, the expectation values are: $$\begin{gathered} ⟨ϵ⟩=\frac{3}{\beta }+m\frac{K_1(\beta m)}{K_2(\beta m)} \\ ⟨{ϵ}^{-1}⟩=\frac{K_1(\beta m)}{m{K}_2(\beta m)} \end{gathered}$$Then, the energy density may be easily obtained as: $$⟨\rho ⟩=n⟨ϵ⟩=mn\frac{K_1(\beta m)}{K_2(\beta m)}+3nkT$$with the number density $n=\frac{N}{V}$.

     Now, you may remember the pressure $p=\frac{1}{3}⟨\rho v^2⟩=\frac{1}{3}n⟨ϵv^2⟩$ in $(9)$ (From here, $p$ means the pressure) and remind the relation between the relativistic factor $\gamma$ and the velocity $v$ of a single particle: $v^2={\gamma }^2-1$. Then the pressure is $\frac{1}{3}n⟨ϵv^2⟩=\frac{1}{3}mn⟨\gamma v^2⟩=\frac{1}{3}mn⟨\gamma -{\gamma }^{-1}⟩$. $$p=\frac{mn}{3}⟨\gamma -{\gamma }^{-1}⟩=\frac{n}{3}(⟨ϵ⟩+m^2⟨{ϵ}^{-1}⟩)=nkT$$This re-confirms the equation of states again. Also, here we can find $T_{\mu }^{\mu }=mn⟨{\gamma }^{-1}⟩$, which can be estimated by thinking with the single particle models.

     In case of considering Bose or Fermi statistics, it is hard to calculate analytically. As we know that the difference between two appears in low temperature which matches to the non-relativistic and not-so-dense limit, the calculation above may fit to most case above room temperature and non-relativistic calculations may fit to the area where the two statistics make difference; besides, the fermi statistics with relativistic Fermi energy may be thought to make some other interesting feature.

마지막 엠티 - 귀경길

     결국 부산을 하나도 보지 못하고 떠나버린 친구들을 위해서 부산의 명소를 소개하기로 했다. 그런데 도대체 어디를 소개하는 좋을까? 이미 사진이라면 인터넷에서도 충분히 찾아볼 수 있을테고, 딱히 내가 할 이유가 없다. 게다가 부산 사람이라면 초등학교 때 부산의 명소를 학교 숙제로 많이 돌아다녀 보았기 때문에 별 감흥도 없다. 그렇다면 숨어있는 명소를 소개하자! 라고 생각해봐도 마땅한곳이 없다. 찾아다닐 시간도 부족하고. 그러던 와중에 아이패드가 필요하다고 해서 (진짜로 필요하긴 했다) 사러 그 신세계백화점에 갔는데, 카드 문제로 돌아다니던 중, 참으로 좋은 것을 발견했다. 평소에 쇼핑할 때도 거의 6층까지 밖에 쓸 일이 없는데, 9층에 올라서니 옥상에 정원이 있고, 그 위로 건물이 더 있지 않은가. 역시 세계 최대의 백화점이라고 할 만하다.

     서울로 돌아가기 위해 부산역에 도착했다. 타고 갈 열차는 하루에 한대씩 있는 KTX002열차. 부산에서 서울까지 논스톱으로 가는 열차이다.
     다른 역과 마찬가지로 타는 곳과 나가는 곳의 풍경은 꽤나 다르다. 게다가 우리가 도착했을 때는 매표소 쪽으로 나가는 바람에 눈치채지 못했지만, 부두쪽 출구가 완성되면서 부산역은 광장형이 되었다. 보통은 역사도 플랫폼을 따라 길쭉하게 되어 있다.

     열차는 가장 동쪽 선로에 대기하고 있었다. 그 너머에는 작물들이 재배되고 있었고, 그 너머에는 또 다른 임시선로가 있었다. 부두 쪽이니 납득은 갔지만, 보통 이쪽 플랫폼은 쓰지 않기 때문에 새로운 경험이었다. 게다가 국철은 좌측 통행인데 우측에 있으니 신기하기도 했다.

     산천은 생각보다 좋지는 않았다. 자리도 더럽고 생각보다 넓다고 않았다. 무엇보다도 같이 가는 사람은 매우 중요하다고 생각했다. 지하철에서 쩍벌남이나 통화를 큰 소리로 하는 사람은 그나마 낫다. 지하철이니까. 부산에서 서울까지 내리지도 못하고 꼼짝없이 옆에 붙어가야 한다니. 팔을 밀어내려고 하는 나의 행동에는 아랑곳 않고 오히려 살을 부딪치게 된 나만 기분이 나빴다. 한국고고학회 교수같은데 ㅜㅜ

PS. 그 후에 우리 방에 춘천사람이 하나 왔다. 미국사람이지만 춘천사람. 주변에 춘천에 많아지고 있다.

iPad evaluation

I bought iPad 2 as its reputation. It was great so never makes me regret, but there are some features never provided in iOS but in Android so the Android users may fill uncomfortable; Android is so great on the integration with Google while iOS never.

You might use google mail, calendars, reader and blogger in Android so confortably with the official app in android market. In iOS, you cannot find any reasonable blogger, reader apps in the store than in Android; most of them are not free as iOS is known for its business model. Also, you cannot use multiple calendars; you may find the solution in the Google site, but the solution page is forbidden so it is useless.

So if you really want to use the comfortable, intrinsic Google sync with tablet size, iPad is not quite exact answer, while still it is the most stable tablet in the world so the crude Android tablet makes you fill like running on the edge of the cliffs.

마지막 엠티 - 후기

나는 지금 눈을 뜬채로 밤을 지새우고 있다.

버스에서 내린 후, 주로 이용하는 귀가로에 내려진 점과 방금 타고 있던 버스가 후배들과 같이 타고 있던 버스라는 점을 새삼스럽게 상기시키며, 묘한 기분을 느꼈다.

가게로 들어서니 부모님께서 반갑게 맞이 해 주셨다. 금요일밤을 지새우고 토요일도 평소보다 매우 적게 잔 것을 생각하면 이상하게도 토•일 이틀 내내 나는 피곤하지 않게 느꼈다.

하지만 집으로 들어서자 느낌과 사실이 다를 수 있다는 것을 알았다. 집에서는 동생이 반갑게 맞이해 주었다. 동생은 무뚝뚝해 보여도 집에서만큼은 나에게 응석을 부린다. 그것도 사실 나의 싫은 점 좋은점을 받아주면서 적응한 결과라는 사실을 보인 바 있어서 나름 놀란 적이 있다. 그리고 나는 놀랄만큼 빨리 잠이 들었다. 그 전후로도 전혀 피곤하다는 생각은 안 들었지만.

내가 바다에 늦게 들어간 것도 있겠지만, 집에 있다는 안정감도 있는 것일까. 다른 지역에서 이처럼 놀았다면 곯아 떨어졌겠지. 이동시의 피곤함도 있겠지.

동생은 언제나처럼 내가 왔다는 명목으로 포식을 하려고 통닭을 시켰다. 마침 벨기에 그랑프리 날이어서 닭을 먹으면서 보았다. 중요한 장면에서 끊겨서 재미가 반감되었지만.

그러고, 부모님 오셔서 얘기 나누고, 자야 되는데, 역시나 잠이 안 오네. 여행을 갔다 오면 자주 있는 패턴이다. 엠티는 특히 보통 낮에 귀가를 하게 되기 때문에 낮에 곯아 떨어지고 밤에는 잠이 오지 않게 되는 것이다. 혹은 장거리라서 저녁에 집에 도착한다고 하더라도 버스 안에서 잠은 잔 것 때문에 같은 효과를 얻을 수 있다.

내가 지금 이 글을 쓰는 것도 그와 같은 까닭이다. 우리가 나눈 이야기들과 기행문에 써야 할 문장들이 머리 속에서 진행되면서, 정작 잠은 오지 않네. 엠티 전에 취침 시간이 늦어서 이번을 기회로 정상으로 되돌리려고 했던 계획도 무산되었다.

하지만 오늘•내일 낮에 쇼핑을 할 예정이므로 어떻게든 일어나야겠지.

앞으로 써야 할 문장도 잊지 않기를 바래본다.

경춘선 2011 태릉 폐선 탐방 - 에필로그

화장실이나 매점 등등 각 사정을 처리하고 18:58 발 상봉행 급행 열차에 뒤늦게 올라타자 자리는 벌써 만석이고 서 있는 사람도 있었다. 우리는 재빨리 비어있는 차량을 찾고자 홈 위에서 한쪽으로 뛰어가려는 찰나, 어떤 아저씨께서 친절히도 앞 쪽이 비어있을 거라는 얘기를 해주셨다. 정말로 앞쪽은 아직 공석이 많아서 우리 세 명이 나란히 앉을 수 있었다. 뛰따라 우리와 함께 검표대를 통과하였으나 뒤늦게 도착한 자전거부대가 동 차량에 탑승했다. 선두차량은 긴 좌석 두 개를 떼어낸 자리에 자전거를 주차할 수 있는 공간이 마련되어 있었다. "혹시나 이 차량이 공석이 많았던 것은 그 때문이 아닐까." 인과관계는 모르겠지만 왠지 불안한 예감이 들었다. 아무리 계단에서 먼 곳에 있다고 해도 사람들은 서 있기 보다는 공석을 찾아서 움직이기 마련이다. 그런데 분명 뒤 쪽은 붐볐는데 선두차량만 우리가 나란히 앉을 수 있을 정도의 공간이 남다니.

그리고 열차가 출발하자, 아니, 출발하기도 전에 자전거 부대의 막걸리 파티가 시작되었다. 무언가도 이리저리 던져 주고 받으며 엄청난 양의 소음을 발생시키는 것이 아닌가. 아직 어떠한 탈 것에서도 이러한 광경은 보지 못했다. 이들은 다음 역인 남춘천에서 내리고자 하는 부자(아버지와 아들 둘)에게도 술을 권했다. 아버지는 완강히, 정말 몇 번이고 거부했지만. 정말 이런 상황에서는 아버지가 곤란하겠다 싶었다. 자전거 부대를 보아하니 중년 남녀가 짝을 지어 앉아 있는 꼴로 보아, 다들 부부로 참가한 것 같았다.

내가 옛 경춘선에서 겪은 일과 뉴스에서 본 것들을 기억하며, 이것도 '경춘선'의 한 모습이겠지 하며, 그렇게 어느 새인가 잠이 들었더란다. 자는 와중에도 고개가 넘어가는 것을 바로 잡으려한 나의 모습이 기억난다. 그만큼 힘이 들었겠지. 사실 열차에 탈 때부터 집에 가고 싶다는 생각을 했다. 드디어 집에 간다. 그리고 시끄러운 소리에 눈을 떴다.

한 대학생 그룹이 기타를 치며 노래를 부른다. 마치 일전에 보았던 뉴스의 한장면처럼. 바닥에 옹기종기 앉아서 커다란 기타소리를 내며 노래를 부른다. 남학생 다섯 명 정도였는데, 모두들 잘생겼다. 한편, 나의 편견으로서는 좀 '놀 것 같은' 사람처럼 보여서 거부감이 없는 것이 아니다. 나중에 옆 칸에서 또 다른 혼성 대학생 그룹이 나타났는데 한 무리처럼 보였다. 이들은 기타를 치고, 옆에서 자전거 그룹은 여전히 수다를 떨고 있다. 기타를 치는 사람은 문이 열릴 때 마다 기타소리를 멈춘다. 배려해야 할 곳이 좀 다르지 않나 생각해본다.

후배가 이처럼 '카오스'인건 오랫만에 본다고 했다. 정말이다. 그렇지만 이것이 단지 듣기 싫은 소음이라던지 폐를 끼치는 행동이라고만 볼 수는 없었다. 마치 사라진 경춘선에 대한 그리움이 아닌가, 혹은 전철로 바뀌었어도 이들은 여전히 똑같이 이용하고 있는게 아닌가 하는 생각이, 앞선 탐방을 하고 돌아온 사람은 들 수 밖에 없었다.

상봉에서 중앙선으로 갈아타고 회기에서 뿔뿔이 흩어지게 된 우리는, 각자의 행선지를 드디어 알 수 있었다. 한명은 일산, 또 한명은 수원이었다. 물론 나는 서울대이다. 둘 다 역에서 버스를 타고 한참 더 가야하는 듯 했다. 이렇게 늦어버린데 대해서 미안한 마음도 들었지만, 아침에 모일 때의 일이 생각났다.

나는 언제나처럼 늦지 않은 시간에 일어나서 늦게 집합장소로 향하고 있었다. 전날에 배가 아파서 탐방 당일에도 여행 도중에 조금 고생했을 정도라는 변명거리가 있긴 하지만 말이다. 내 친구는 애초 계획대로 9시 반에 성북에서 만나는 걸 주저하지 않았다. 결국 게으름이라는 기본적인 욕구에 따라 계획을 늦추지 않았더라면 제 시간에 만나기는 커녕 나중에 여행할 때도 장시간의 여행에 지쳐서 마무리를 제대로 할 수 없었을 것이라는 것을 귀가시의 피곤함에서 알 수 있다. 허나 어쨌든, 둘은 제시간에 도착해서 20분 동안 문고에서 책을 읽고 있다. 이 둘이 일산과 수원에서 왔다는 사실은 나를 더욱 놀라게 했다. 수원에서 온 후배는 12시 넘어서 메신저에 들어온 걸 확인했는데, 그러면 오는데에 최소한 3시간은 걸린다는 얘기이다.

약속대로 서울역 맥도날드에서 이른 점심을 먹었다. (11시 집합이었다.) 나오면서 나의 관심사인 F1 홍보관을 찾으려 했지만 있는 것은 몇 달전부터 있던 쉐보레 홍보관 뿐이었다. 1호선을 타고 성북을 향하려는 우리를 맞아준 건 별나게도 청량리 행 열차. 초기의 지하철 1호선을 연상시킨다. 한번도 청량리 행을 본 적이 없는 나는 신기해하면서 계획을 설명하고 있었다. 설명이 끝나자 언제나처럼 친구는 재밌는 얘기를 해보라고 했다. 나는 '잼'이라고 했지. 음. 그리고 친구가 재미있는 얘기를 시작했다.

"뉴턴, 파스칼, 베르누이가 숨바꼭질을 했어. 베르누이가 술래였는데, 파스칼은 숨고 뉴턴은 베르누이 앞에서 1m x 1m의 정사각형을 그리고 그 위에 섰어. 베르누이가 숫자를 다 세고 '뉴턴 찾았다'고 했는데 뉴턴이 한말 '네가 찾은건 파스칼인데?'"

My plan for Busan subways

http://maps.google.com/maps/ms?ie=UTF&msa=0&msid=206604803998788861069.0004a11ce852ed61822d0

被害状況まとめ

I've shared a map with you called 被害状況:

http://maps.google.com/maps/ms?ie=UTF&msa=0&msid=206604803998788861069.00049e36b0bd90fb9c045

救出計画提案

I've shared a map with you called ライフライン計画:

http://maps.google.com/maps/ms?ie=UTF&msa=0&msid=206604803998788861069.00049e40ba3599e3c934e

Android in Linux x86_64

Android SDK only supports x86 for Linux in Official. However, I found it work in x86_64 also, with the procedure in official.

Doctor Who - The origin of the Time Lord

You may know 'the end of time', which has been prevented by the Doctor from the Time Lords. However, what if the end of time resumes, and the Time Lord becomes the only life form in the universe even out of physical form? Then what would happen? Maybe in some universe, some parallel universe, it should happen. Falling, the whole disaster falling over the earth...

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